円周を３等分する点（ア）、（イ）、（ウ）があります。それぞれの点からＡ、Ｂ、Ｃが円周上を同時に同じ向きに出発しました。Ａは毎秒２．５cm、Ｂは毎秒３cm、Ｃは毎秒５cmの速さで進みます。出発して、何秒後かにＡ、Ｂ、Ｃが同時にある場所で重なります。次にＡ、Ｂ、Ｃが重なるのは、出発してから何秒後ですか。ただし、円周の長さは１８cmです。
円周上の点の移動の問題では、角速度を考えるのが基本ですが、この問題の場合、円周の長さがきれいな値なので、角速度を考えなくても解けますね。
３点Ａ、Ｂ、Ｃが重なるのは、ＡとＢが重なり（Ａより速いＢがＡに追いつき）、しかも、ＢとＣが重なる（Ｂより速いＣがＢに追いつく）場合ですね。
まず、ＡとＢが重なる（ＢがＡに追いつく）場合を考えます。
ＢがＡに初めて追いつくのは 追いつく速さ＝速さの差
１８×２/３÷（３－５/２） ←ＢとＡの最初の隔（へだ）たりは１８×２/３（円周の２/３）ですね。
＝１２×２ ＝２４秒後
で、以後、ＢはＡに １８÷（３－５/２） ＝１８×２ ＝３６秒毎に追いつきます。
次に、ＢとＣが重なる（ＣがＢに追いつく）場合を考えます。
ＣがＢに初めて追いつくのは １８×２/３÷（５－３） ←ＣとＢの最初の隔（へだ）たりは１８×２/３（円周の２/３）ですね。 ＝６秒後
で、以後、ＣはＢに １８÷（５－３） ＝９秒毎に追いつきます。
あとは、上の２つの場合が同時に起こる場合を調べるだけですね。書き出してチェックすればいいでしょう。
ＣがＢに追いつくのは、 ←９で割ると６余る数の書き出しですね。
６秒後
６＋９＝１５秒後
１５＋９＝２４秒後
・・・・・・・・・・
↑なお、ＢがＡに追いつくのが偶数秒後だけであることに注意すると、６に９を偶数個加える場合だけチェックすればいいことがわかりますね。
２４秒後に３点Ａ、Ｂ、Ｃがはじめて重なります。以後、ＡとＢは３６秒ごとに重なり、ＢとＣは９秒ごとに重なるので、次に３点Ａ、Ｂ、Ｃが重なるのは、３点Ａ、Ｂ、Ｃがはじめて重なってから３６（３６と９の最小公倍数）秒後だから、
２４＋３６ ＝６０秒後になります。